Guía de matemática financiera - Descuento simple y descuento comercial

3.- Descuento simple y descuento comercial

Matemáticamente, se trata de la operación inversa a la capitalización simple. Entendemos pues por interés anticipado (o de descuento), aquella operación financiera consistente en la sustitución de un Capital futuro por otro con vencimiento presente.

Sea i_a el Tipo de Interés unitario anticipado para un capital prestado de 10 euros; la cantidad recibida por el prestatario será 10 - i_a , y devolverá el valor del capital prestado al final de un año de 10 euros.

Denominemos de forma genérica C_n al capital prestado, que es nominal del préstamo ya que es la cuantía que se devuelve al final del periodo de tiempo pactado n, y C₀ a la cantidad recibida por el prestatario en el momento de concertar la operación, es decir, el efectivo del préstamo que se recibe.

C₀ ( efectivo del préstamo ) será la diferencia entre el valor nominal del préstamo y sus intereses.

C₀ = C_n - C_n · i_a · n
C₀ = C_n ( 1 -  i_a ·  n )

Para obtener la relación entre el Tipo de interés i ( pospagable, rentabilidad ), y el Tipo de interés de descuento o anticipado iasustituimos el valor de C₀ en la fórmula de Capitalización simple.

C_n = C₀ ( 1 + i  ·  n)  operando 
C_n = C_n ( 1 +  i_a ·  n)  ( 1 + i ·   n )

despejando i  :       i = i_a    /  (1 -  i_a  · n )

despejando i_a :       i_a  = i   / (1 + i  · n) 

Ejemplo
Para calcular el efectivo que habrá que pagar por la compra de un pagaré de 10.000 euros de valor nominal con vencimiento dentro de un año, si el tipo de interés de descuento es del 3,5 % haremos lo siguiente:

C₀ = C_n ( 1 -  i_a · n )
C₀ =  10.000 ( 1 – 3,5% · 1) = 9.650 euros

Ejemplo
En el caso de que el vencimiento del pagaré del ejemplo anterior fuera a los 210 días el efectivo sería el siguiente:

C₀ = 10.000 ( 1 – (3,5% · 210/365)) = 9.800 euros 

3.1.- Descuento Simple

En el punto anterior hemos visto que, matemáticamente, el descuento simple es la operación inversa a la de capitalización simple. Esto es, aquella operación financiera consistente en la sustitución de un capital.

En la práctica habitual estas operaciones se deben a la necesidad de los acreedores de anticipar los cobros pendientes antes del vencimiento de los mismos acudiendo a los intermediarios financieros. Los intermediarios financieros cobran una cantidad en concepto de intereses que se descuentan sobre el capital a vencimiento de la operación de que se trate.

Sean:

C_n = nominal (N) de la operación cuyo cobro se desea anticipar
C₀ = efectivo (E) que cobramos anticipadamente.
D = descuento total , el interés I, D = C_n - C₀
n = Periodo de tiempo entre el cobro y el vencimiento de la operación que se descuente.

3.1.1.- Cálculo del Valor Actual

Dado que C_n = C₀ (1 + i · n) despejando C₀ del capital final tenemos que:

El descuento es por tanto reversible. Si descontamos un capital Cn durante un tiempo n a un tipo i de interés obtendremos un valor actual C₀. Y si este capital descontado C₀ lo invertimos durante ese mismo periodon y al mismo Tipo de interés i nos producirá el mismo capital final C_n.

3.1.2.- Cálculo del Descuento

I = C₀ · i ·n como ya hemos visto anteriormente. De la misma manera los intereses del efectivo durante el periodo n de tiempo que resta hasta su vencimiento será lo que denominemos como el descuento D_i , donde

Evidentemente desconocemos C₀ (ya que, recordemos, estamos descontando C_n el Capital final o nominal). Por ello pondremos el valor del descuento D_ien función de C_n y para ello no hay más que sustituir el valor C₀ en el Descuento. De este modo C₀ = C_n / (1 + i · n) y nos queda de esta manera:

Ejemplo
Si quisiéramos calcular el Descuento que se aplicará sobre un pagaré de 100.000 euros de nominal con vencimiento a 90 días, si el tomador del título pide un 5% anual deberíamos hacer lo siguiente:

D_s = ( 100.000 x ( 5% x ( 90/365 ) ) ) / ( 1 + ( 5% x ( 90/365 ) ) ) = 1.218 euros

3.2.- Descuento Comercial

Este caso particular se calcula sobre el Nominal C_n . El Descuento será pues el precio, la cantidad que se descontará a cada unidad de capital por anticipar su pago una unidad de tiempo dada.

3.2.1.- Cálculo del Descuento Comercial

Denominaremos D_c a los intereses que el Nominal C_n devenga a un tipo de interés i de descuento durante el periodo n que falta hasta su vencimiento.

D_c = C_n · i · n

El valor inicial C₀ será entonces la diferencia entre el Nominal C_n y el Descuento D_c.

C₀ = C_n- C_n · i · n

Ejemplo
Para que una empresa sepa cuánto recibirá si descuenta la Letra de Cambio aceptada que le han dado como pago por sus servicios deberá tener en cuenta lo siguiente:
El nominal de la letra ( pongamos que se trata de 100.000 euros), el vencimiento ( por ejemplo dentro de 90 días ) y el tipo de interés ( digamos que un 3,5% )

C₀ = C_n ( 1 - i  · n )
Luego C₀ = 100.000 x (1- ( 3,5% x 90/365 )) = 99.137

La diferencia esencial entre la capitalización compuesta y la simple reside en la acumulación o no de los intereses para producir con ellos nuevos intereses. En la práctica habitual se empleará la Capitalización Simple para operaciones a “corto plazo” (menores o iguales a un año) y la Compuesta en operaciones a “largo” o cuya duración exceda del año.

4.- Constitución de capitales

4.1.- Definición Capitalización Compuesta

Régimen de Capitalización Compuesta o del Interés compuesto. Se conoce como tal al proceso mediante el cual los intereses se acumulan al capital para producir conjuntamente nuevos intereses al final de cada periodo de tiempo. Así sucesivamente, tiene lugar la capitalización periódica de los intereses. Esto en la práctica se traduce por ejemplo en el acuerdo entre las partes para que al final de cada período los intereses producidos por un préstamo en lugar de liquidarse al prestamista se incorporen al capital para que la suma de ambos produzca intereses en el período siguiente.

Seguiría el siguiente esquema:

Recibe el nombre de Capitalización compuesta la operación de prestación múltiple y contraprestación única con vencimiento posterior. La operación de constitución tiene por objeto la formación o constitución de un capital mediante la realización de un plan de ahorro de un plan de inversión.

Elementos fundamentales para el cálculo de la Capitalización Compuesta:

C₀ = Capital inicial
n = número de períodos ( años generalmente ) que dura la operación.
i = Tipo de interés anual, rendimiento por cada peseta invertida en un periodo.
I = Interés total,suma de los intereses de cada año o de cada período.
C_n = Capital final. La suma del capital inicial más los intereses.

4.2.- Cálculo del Capital final

1. Operación de constitución de prestación y contraprestación única.
   El capital final es la suma del capital inicial más los intereses generados durante el periodo de vida de la operación financiera.
   Es decir, estamos calculando el capital final C_n, sobre un capital inicial C₀ a un tipo de interés anual "i" para "n" períodos.
   • Capital al final del primer año:    C₁ = C₀ + ( C₀· i ) = C₀ ( 1 + i )
   • Capital al final del segundo año: C₂ = C₁ + (C₁· i ) = C₁·( 1+i ) = C₀·( 1+i )·(1+i) = C₀·( 1+i)²
   • Capital al final del tercer año: C₃ = C₂ + (C₂· i ) = C₂·( 1+i ) = C₀·(1+i )²·( 1+i ) = C₀·(1+i)³
   • De este modo, al final de n años  el capital final será:
     C_n = C₀ ( 1 + i )ⁿ
2. Operación de constitución de prestaciones múltiples y contraprestación única.
   El capital final será la sumas de todos los términos invertido con los intereses generados por cada término. Estamos calculando el capital final formado por los términos que invertimos a un tipo de interés anual "i" durante "n" períodos.
   
   • Capital creado hasta 1:  C₁=a₁
   • Capital creado hasta 2:  C₂= C₁(1+i)+a₂ =a₂(1+i)+a₃
   • Capital creado hasta 3: C₃= a₁(1+i)²+a₂(1+i)+a₃
   • De este modo, en el periodo n el capital final será:
     C_n=a₁(1+i)^n-1+a₂(1+i)^n-2+....+a_n-1(1+i)+a_n

4.3.- Cálculo de los intereses

1. En el caso de prestación y contraprestación únicas:
   Ya hemos visto en varias ocasiones que el capital final es la suma del capital inicial más los intereses de manera quesi despejamos el interés total I tendremos

   C_n=C₀+ I;      I = C_n- C₀

   Y como hemos visto en el anteriormente  C_n = C₀ ( 1 + i )ⁿ ;
   sustituimos: I = C₀ ( 1 + i )ⁿ - C₀ , sacando C₀ factor común nos quedaría:
   I = C₀ [ ( 1 + i )ⁿ - 1 ]
   Ejemplo:
   Los intereses producidos por un capital de 1.000.000 de euros durante diez años al 4.5% anual de interés compuesto serán 
   

   I = 1.000.000 [ ( 1 + 4.5% )¹⁰ – 1 ]

2. En el caso de una constitución de n términos:
   
   I=a₁·i^n-1+a₂·i^n-2+......+a_n-1·i+a_n

4.4.- Cálculo del capital inicial

El cálculo del capital inicial es para el caso de prestación y contraprestación únicas.

Despejando el capital inicial C₀ en la fórmula ya vista C_n = C₀ (1 + i )ⁿ nos queda lo siguiente:

Por otro lado también sabemos que   C_n= C₀ + I por lo que si despejamos el valor del capital inicial C₀ nos  queda: Ejemplo:
Sea un Capital final de  1.000.000 de euros; ¿cuál fue el Capital Inicial que lo produjo  invertido al 8 por ciento durante diez años?

C₀= 1.000.000 / ( 1 + 8%)¹⁰

4.5.- Cálculo del tipo de interés

Recurriremos de nuevo a la fórmula de partida  C_n = C₀ ( 1 + i )ⁿ . En esta ocasión despejaremos el tanto de interés por lo que tenderemos que:  C_n / C₀ = ( 1 + i )ⁿ
Si continuamos despejando:

Ejemplo:
A qué  tipo de interés fue  invertido un capital de 500.000 euros para convertirse en 625.000 al cabo de cinco años.

i = ( 625.000 / 500.000 )^1/5  - 1

4.6.- Cálculo del Periodo de tiempo

Se trata pues en esta ocasión de despejar "n" en nuestra útil fórmula C_n = C₀ ( 1 + i )ⁿ, tendremos por lo tanto:

C_n / C₀ = ( i + 1 )ⁿ

Tomamos logaritmos para despejar la incógnita ya que  está en la potencia:

log (C_n / C₀) =   log ( 1 + i)ⁿ

Si continuamos despejando: