Guía de matemática financiera - Amortización o préstamo de capitales I

5.- Préstamos y Amortización de Capitales

5.1.- Definición de Amortización o Préstamos de Capitales

Llamamos así a toda operación financiera compuesta de prestación única y contraprestación múltiple con vencimiento posterior (aunque existen otras variantes que enumeraremos más tarde). La operación de amortización de capital tiene por objeto a amortización de una deuda mediante la entrega de una sucesión de pagos escalonados en el tiempo. Generalmente se conciertan entre personas físicas o jurídicas y las Entidades de Crédito. Es la operación contraria a la constitución.

En esta operación intervienen los siguientes elementos:

C₀= Capital prestado o a amortizar.
a_s= Términos amortizativos que entrega el prestatario para amortizar la deuda.
i = Tipo de interés de la operación.
C_n= Capital prestado valorado al final de la operación.
n = Duración de la operación.

5.1.1.- Cálculo de los términos amortizativos

Si suponemos que los tipos de interés son constantes y que los términos amortizativos son constantes, el calculo de los términos se podrá hallar por medio de la igualdad entre prestación y contraprestación:

C₀= a (1+i)^-1+a(1+i)^-2+...+a(1+i)^-n

De tal forma que si despejamos "a":

a=C₀/[(1+i)^-1+a(1+i)^-2+...+a(1+i)^-n] = C₀ [(1+i)¹+a(1+i)²+...+a(1+i)ⁿ]

Si ahora supones que el préstamo se devuelve en con una sola contraprestación al final de la operación obtendremos (a esta operación también se le llama descuento compuesto racional):

C₀= a(1+i)^-n = C_n (1+i)^-n

En este caso el término amortizativo sería igual a la totalidad a devolver, es decir al capital final:

Ejemplo:
Si quisiéramos calcular el valor de la cancelación de un  préstamo a 15 años de 500.000 Euros  que tenemos concedido a un tipo de interés compuesto del  5   por ciento anual  ( teniendo en cuenta que  la cancelación  de la operación que vence dentro de cinco años será por el nominal más los intereses acumulados hasta el momento ) deberíamos hacer lo siguiente.

C_n = 500.000 (1 + 5%)¹⁰ = 814.447.3134 

5.1.2.- Cálculo de los intereses

Los siguientes cálculos los realizaremos en el caso de que la contraprestación sea única, es decir se devolverá el capital prestado mediante una entrega al final de la operación.

C_n = C₀ +I ;      I = C_n- C₀= C_n - C_n (1+i)^-n = C_n (1- (1+i)^-n) o bien  

5.1.3.- Cálculo del tipo de interés

Seguiremos el mismo procedimiento que en los apartados anteriores, es decir despejando de la igualdad principal:

5.2.- Descuento compuesto comercial

Para sustituir un capital futuro por otro con vencimiento presente utilizaremos la ley financiera del descuento compuesto que no es sino la operación inversa a la capitalización compuesta.

Los elementos que debemos considerar para estas operaciones son los siguientes:

C_n = Flujo Nominal o cantidad al vencimiento.
C_o = Efectivo o cantidad presente.
D = Descuento total,  la diferencia entre el nominal y el efectivo.  Los intereses I.
n = El periodo de tiempo transcurrido entre el momento de efectivo y el vencimiento.
d = Tipo de descuento, es el tipo de interés anual que se aplica sobre el valor nominal, en función del plazo de la operación, para obtener el efectivo de la compra.
i = Tipo de interés anual.

Si quisiéramos por ejemplo cobrar anticipadamente un capital cuyo vencimiento se fuera a producir dentro de un número determinado de  años, la cantidad que recibiríamos sería el valor actual o valor presente  del mismo, ya se obtenga éste por aplicación del tipo de interés i o ya por el descuento d.

En el caso de que aplicáramos el tipo de interés i el descuento total obtenido lo llamaremos Descuento Matemático Real o Racional y si aplicáramos el tanto de descuento del descuento total obtenido lo llamaremos Descuento Comercial.

Llamamos descuento comercial a los intereses que genera el capital nominal desde el momento deliquidación de efectivo hasta su propio vencimiento. Por tanto, el cálculo de los intereses se hace sobre el nominal.

5.2.1.- Cálculo del valor actual

Tenemos un capital nominal Cn al que se le aplica un tipo de descuento d. El valor actual Co será por lo tanto:

• El valor del capital disponible al final del año n: C_n 
• El valor del capital disponible al final del año n- 1:  C_n-1 = C_n - C_n· d = C_n (1 –  d) 
• El valor del capital disponible al final del año n-2:   C_n-2 = C_n-1- C_n-1· d = C_n-1 (1 – d);
• C_n-2 = C_n (1 -d) (1 -d) = C_n-1 ( 1 - d )²
• El valor del capital disponible al final del año n-3: C_n-3 = C_n-2 - C_n-2· d = C_n-2 (1 – d);
  C_n-3 = C_n ( 1 – d )² ( 1 – d )= C_n ( 1 - d )³ 
• Y así, el valor del capital en el origen C_o será:

5.2.2.- Cálculo del descuento

Se trata de los intereses calculados sobre el nominal en función del tiempo que falta hasta su vencimiento. El descuento total es la diferencia entre el nominal y el efectivo D = C_n–C_o.

Como ya conocemos el valor de C_o:

C_o =  C_n ( 1 – d )ⁿ

sustituyendo:

5.2.3.- Cálculo del valor nominal

También en este caso partimos de la fórmula C_o = C_n (1 - d)ⁿ y despejando el nominal C_n tenemos que:

5.2.4.- Cálculo del tipo de descuento

Una vez más partiremos  de la fórmula C_o = C_n (1 - d)ⁿ   y despejamos d:

5.2.5.- Cálculo del tiempo

En esta ocasión partiremos de la fórmula C_o = C_n (1 - d)ⁿ   y despejamos n:

5.3.- Enumeración de los distintos Métodos de Amortizar Capitales

• Método de Amortización del Sistema Americano: En este tipo de amortización el prestatario entrega al prestamista en cada ejercicio tan solo los intereses generados por el Capital prestado, y en el último periodo entrega los intereses generados en ese periodo y el Capital prestado.
  
• Método de Amortización Francés: En este tipo de amortización el prestatario entrega al prestamista en cada ejercicio una cantidad constante con la que se cubren los intereses generados y parte del principal a amortizar.
  
• Método de Amortización de cuota de amortización constante: En este tipo de amortización el prestatario amortiza todos los periodos la misma cantidad de principal y los intereses generados.
  
• Método de Amortización con Fondos de Amortización: En este tipo de amortización el prestatario paga al prestamista los intereses generados por el principal y constituye al mismo tiempo un fondo con el que devolverá el principal prestado al final de la operación.
  
• Método de Amortización de Términos variables en Progresión Geométrica: En este tipo de amortización el prestatario paga el principal por medio de términos en progresión geométrica creciente o decreciente, de tal forma que la suma financiera de todos los términos en el momento inicial de la operación es igual al capital prestado.
  
• Método de Amortización de Términos variables en Progresión Aritmética: Este tipo de amortización es igual al anterior con la única variedad de que los términos varían en progresión aritmética creciente o decreciente.
  

6.- Tipos de interés equivalentes

6.1.- Tipos de Interés equivalentes en la Capitalización Compuesta y Amortización

Ya vimos para la capitalización simple que tipos equivalentes son aquellos que aplicados a un capital inicial determinado producen el mismo capital final durante el mismo intervalo de tiempo, aunque se refieran a diferentes períodos de capitalización.

También vimos entonces que para la capitalización simple los tipos proporcionales son equivalentes, pues bien, en el caso del interés compuesto no es así.

Si llamamos m a la frecuencia de capitalización, es decir, el número de veces que durante un período de tiempo se capitalizan los intereses producidos tendremos que para un año :

  m = 2  Cuando se capitalicen los intereses semestralmente
  m = 3  Cuando se capitalicen los intereses cuatrimestralmente
  m = 4  Cuando se capitalicen los intereses trimestralmente
  …
  m        Cuando se capitalicen los intereses m-esimamente  

Por tanto, dado un tipo de interés anual i y una frecuencia m de capitalización llamaremos "i"    al tipo de interés efectivo anual o Tasa Anual de Equivalencia que todos podemos ver en el mercado financiero como TAE.

i _m: al  tipo de interés equivalente,  el tipo de interés de un período fraccionado.

J _m: será el tipo nominal convertible.  En este caso se trata de un tipo teórico, no real,  pero, eso sí,  proporcional anual,  es decir el producto de  m veces i _m. Esto es:

J _m =  m · i _m   ;      i _m  =  J _m  /  m

Hagámonos el siguiente razonamiento:

1. Un euro invertido durante un año al tipo de interés i nos dará como resultado un capital final de( 1 + i ).  Ese mismo euro invertido durante el mismo periodo pero con una frecuencia de capitalización m al tipo i _m , nos dará un capital final de (1 + i _m )^m.
2. Para que el tipo i sea equivalente a i _m, los capitales finales  por definición han de ser iguales, por lo que:

   ( 1 + i ) = (1 + i _m )^m

3. Podemos por tanto conocer:
   • el tipo de interés anual en función del fraccionado:

     i = ( 1 + i _m )^{m - 1}

   • el tipo de interés efectivo para un período fraccionado en función del anual.

     i _m =  ( 1 + i )  - 1

6.2.- Equivalencia entre Tipo de interés postpagable y prepagable

Préstamo con intereses postpagables

Si presentamos el esquema correspondiente al pago de los intereses, la operación quedaría del siguiente modo:

Siendo los intereses de cada intervalo los siguientes:

I₁=C₀·i
I₂=C₁·i
........
I_n=C_n-1·i

Préstamo con intereses prepagable

En este tipo de amortización los intereses que se producen un periodo se pagan en el periodo anterior, es decir se anticipan, de tal modo que el esquema financiero del pago de los intereses sería el siguiente:

Siendo los intereses de cada intervalo los siguientes:

I*₁= C₀·i*
I*₂= C₁·i*
.........
I*_n= C_n-1·i*

Sabiendo esto podemos decir que: I_s=I*_s(1+i), y sustituyendo:

C_s-1·i = C_s-1·i*(1+i)

i = i*(1+i)

i* = i / (1+i)

Del mismo modo también sabemos que: (1+i)=(1+i*), y despejando obtenemos: